Методы составления разностных схем. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности Явные и неявные разностные схемы

Математика и математический анализ

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи. Характеристика неявной разностной схемы Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями: 4.7 записана на n 1ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы 4. В разделе Порядок аппроксимации разностной схемы было отмечено что разностная схема 4.

8 вопрос: Разностные схемы: явная и неявная схемы:

Разностная схема это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение ). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода , что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина ).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Характеристика неявной разностной схемы

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с :

(4.5)

Запишем для уравнения (4.5) неявную разностную схему :

(4.6)

Запишем :

(4.7)

Аппроксимация граничных условий (4.7) записана на (n метода и алгоритма решения неявной разностной схемы (4.6).
В разделе " " было отмечено, что разностная схема (4.6) имеет такой же порядок аппроксимации , как и соответствующая ей явная разностная схема (4.2) , а именно:

В разделе " Доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы " было доказано, что неявная разностная схема (4.6) абсолютно устойчива, т.е. вне зависимости от выбора интервала деления на разностной сетке (или, иначе говоря, выбора расчётного шага по независимым переменным) погрешность решения неявной разностной схемы в процессе вычислений возрастать не будет. Отметим, что это, безусловно, является достоинством неявной разностной схемы (4.6) по сравнению с явной разностной схемой (4.2) , которая устойчива только при выполнения условия (3.12) . В то же время явная разностная схема имеет достаточно простой метод решения , а метод решения неявной разностной схемы (4.6), называемый методом прогонки , более сложен. Прежде чем перейти к изложению метода прогонки , необходимо вывести ряд соотношений , используемых этим методом.

Характеристика явной разностной схемы.

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями :

(4.1)

Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему :

(4.2)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий :

(4.3)

Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной разностной схемы (4.2).
В разделе " Порядок аппроксимации разностной схемы " было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации :

В разделе " Доказательство условной устойчивости явной разностной схемы " было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря, ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):

Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2). В то же время она имеет достаточно простой метод решения .

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
6399.		Сознание как проблема философии	58 KB
	Сознание как проблема философии Основные философские позиции по проблеме сознания Теория отражения. Основные философские позиции по проблеме сознания. Представители объективного идеализма (Платон, Гегель) трактуют сознание, дух как вечное п...
6400.		Диалектика как теоретическая система и метод познания	98.5 KB
	Диалектика как теоретическая система и метод познания Исторические типы метафизики и диалектики Системность Детерминизм Развитие Исторические типы метафизики и диалектики Еще с древности люди заметили, что всем предметам и явлениям ми...
6401.		Проблема человека в философии	71 KB
	Проблема человека в философии Проблема человека в истории философии Проблема антропосоциогенеза Природа человека Проблема человека является центральной для всей духовной культуры общества, т.к. только через себя мы понимаем окружающий мир, о...
6402.		Человеческая деятельность и ее содержание	116 KB
	Человеческая деятельность и ее содержание Освоение и отчуждение. Проблема свободы. Основные способы освоения мира человеком. Познание. Практически-духовное освоение мира Освоение и отчуждение. Проблема свободы. Центральной проблемой...
6403.		Общество как предмет философского анализа	71 KB
	Общество как предмет философского анализа. Социальная философия и ее задачи. Основные философские подходы к пониманию общества. Структура общества Социальная философия и ее задачи. В обыденном сознании существует иллюзия непосредственного во...
6404.		Философия истории. Движущие силы и субъекты исторического процесса	66 KB
	Философия истории Предмет и задачи философии истории Периодизация истории общества Движущие силы и субъекты исторического процесса Предмет и задачи философии истории Для историка прошлое - это данность, которая находится вне...
6405.		Стилі сучасної української літературної мови у професійному спілкуванні	44.27 KB
	Стилі сучасної української літературної мови у професійному спілкуванні План Функціональні стилі української мови та сфера їх застосування. Основні ознаки функціональних стилів. Текст як форма реалізації мовнопрофесійної діяльності (комунікати...
6406.		Основні поняття соціолінгвістики	121 KB
	Основні поняття соціолінгвістики Мовна спільнота. Мовний код, субкод.. Перемикання і змішування кодів. Інтерференція Мовна варіативність. Мовна норма. Соціолект. Сфера використання мови. Білінгвізм. Ди...
6407.		Правовідносин, що регулюються нормами трудового права	101 KB
	Правовідносин, що регулюються нормами трудового права Поняття трудових правовідносин Правові відносини в суспільстві формуються і розвиваються внаслідок наявності правових норм, які приймаються державою для регулювання суспільних відносин. Всту...

Различают три метода построения разностных схем на заданном шаблоне:

· метод разностной аппроксимации;

· интегро-интерполяционный метод;

· метод неопределенных коэффициентов.

Методом разностной аппроксимации мы уже пользовались при составлении схем (24), (26). Согласно данному методу, каждая производная, входящая в уравнение и краевое условие, заменяется каким-либо разностным выражением с учетов узлов заданного шаблона. Метод позволяет легко составить разностные схемы с первым и вторым порядком аппроксимации, когда коэффициенты уравнения достаточно гладкие функции. Обобщение данного подхода на ряд важных случаев затруднителен. Например, если коэффициенты уравнения разрывные, или предполагается использовать непрямоугольную и неравномерную сетку, возникает неопределенность в построении разностной схемы.

При использовании интегро-интерполяционного метода или метода баланса используют дополнительные физические соображения, сводящиеся к составлению уравнений сохранения тех или иных величин. В данном методе после выбора шаблона область разбивается на ячейки. Дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке и по формулам векторного анализа приводят к интегральной форме, отвечающей некоторому интегральному закону. Интегралы вычисляют приближенно по одной из квадратурных формул и получают разностную схему.

Представим уравнение теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности в виде: . Выберем для его аппроксимации шаблон, представленный на рис.8, где пунктиром выделена соответствующая ячейка.

Выполним интегрирование по ячейке:

и аппроксимируем первый интеграл по формуле средних, а второй интеграл - по формуле прямоугольников, тогда

В последнем выражении производные заменим конечными разностями и, считая сетку равномерной, получим разностную схему

Если k = const, то схема (35) совпадает с неявной схемой (24).

Рис.8. Шаблон и ячейка интегро-интерполяционного
метода для уравнения теплопроводности

Интегро-интерполяционный метод наиболее полезен, когда коэффициенты уравнения является негладкими или даже разрывными. В этом случае обращение к более общим - интегральным законам возвращает нас к более правильным обобщенным решениям.

Рассмотрим пример использования разностной схемы (35) для расчета теплопроводности среды, состоящей из трех сред с разными коэффициентами теплопроводности, т.е.

(36)

где k 1 , k 2 , k 3 , вообще говоря, различные неотрицательные числа. Исходное уравнение можно в этом случае записать в виде:

(37)

Для расчета по схеме (35) с коэффициентом теплопроводности (36) будем полагать, что

а на левой x = 0 и правой x = a границе согласно (37) будем поддерживать нуль температуры, т.е. и .

На листинге_№4 приведен код программы, которая решает уравнение (36), (37) согласно разностной схеме (35), (38).

Листинг_№4

%Программа решения уравнения теплопроводности

%(37) с разрывным коэффициентом

%теплопроводности (36)

global a k1 k2 k3

%определяем отрезок интегрирования и

%три значения коэффициента теплопроводности

%в трех областях отрезка интегрирования

a=3; k1=0.1; k2=100; k3=10;

%определяем шаг по времени и по пространству

tau=0.05; h=0.05;

x=0:h:a; N=length(x);

%Строим начальное распределение температуры

if x(i)<=0.5*a

y(i)=((2*Tm)/a)*x(i);

if x(i)>0.5*a

y(i)=((2*Tm)/a)*(a-x(i));

%рисуем начальный профиль температуры

%толстой красной линией

plot(x,y,"Color","red","LineWidth",3);

%вычисляем коэффициенты прогонки A(n), B(n)

%C(n): A(n)y2(n+1)+B(n)y2(n)+C(n)y2(n-1)=y(n)

A(n)=-(tau/h^2)*k(x(n)+0.5*h);

B(n)=1+(tau/h^2)*...

(k(x(n)+0.5*h)+k(x(n)-0.5*h));

C(n)=-(tau/h^2)*k(x(n)-0.5*h);

%определяем левое граничное условие

alpha(2)=0; beta(2)=0;

alpha(n+1)=-A(n)/(B(n)+C(n)*alpha(n));

beta(n+1)=(y(n)-C(n)*beta(n))/...

(B(n)+C(n)*alpha(n));

%задаем правое граничное условие

for n=(N-1):-1:1

y(n)=alpha(n+1)*y(n+1)+beta(n+1);

%рисуем текущий профиль температуры

%определяем коэффициент теплопроводности

global a k1 k2 k3

if (x>=0)&(x<=a/3)

if (x>a/3)&(x<=(2*a)/3)

if (x>(2*a)/3)&(x<=a)

На рис.9 приведен итог работы кода программы листинга_№4. Красной жирной линией нарисован начальный треугольный профиль температуры. Вертикальные стрелки на графике отделяют области с разными коэффициентами теплопроводности. Согласно коду листинга_№4, коэффициенты теплопроводности отличаются друг от друга на три порядка.

Рис.9. Решение уравнения теплопроводности (37) с разрывным
коэффициентом теплопроводности (36)

Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что в качестве разностной схемы берут линейную комбинацию решений в узлах некоторого шаблона. Коэффициенты линейной комбинации определяют из условия максимального порядка соответствующей невязки по t и h .

Так, для уравнения на шаблоне рис.8 можем записать следующую схему с неопределенными коэффициентами

Определяем невязку

Подставим (31) в (40), тогда

(41)

Большинство членов в (41) обнуляются при условии

. (42)

Подставляя (42) в (39) получим разностную схему (24).

Метод неопределенных коэффициентов применим и к более сложным случаям. Например, для треугольной сетки, шаблон которой приведен на рис.10 можно получить следующую разностную схему

Рис.10. Шаблон треугольной сетки для разностного уравнения (43)

Рассмотрим нерегулярные узлы разностной схемы, т.е. ее граничные условия. Для уравнения теплопроводности u t = k u xx нерегулярными являются граничные узлы n = 0 и n = N . Если рассматривается первая краевая задача

то легко записать соответствующие разностные условия

которые выполняются точно, т.к. невязка для них равна нулю.

Более сложным является случай второй краевой задачи, когда граничное условие содержит производную по x . Например, при задании на краях теплового потока граничные условия приобретают следующий вид:

Производные в (44) можно аппроксимировать правой (левой) конечной разностью:

Невязка разностных уравнений (45) легко оценивается:

(46)

Таким образом, согласно (46), невязка граничных условий имеет первый порядок точности по h , тогда как в регулярных точках порядок точности второй по h , т.е. при выборе аппроксимации граничных условий по формулам (45) происходит потеря точности.

Для повышения точности граничных условий рассмотрим метод фиктивных точек . Введем вне отрезка две фиктивные точки: , и запишем в точках n = 0 и n = N явную разностную схему (26), тогда

Аппроксимируем левое и правое граничное условие с помощью центральной разности, т.е.

Исключая из (47), (48) фиктивные точки и значения функции в них, находим граничные условия второго порядка точности по h :

(49)

Граничные условия (49) являются явными, т.к. содержат только по одному значению на следующем слое.

Помимо метода фиктивных точек есть другой метод уменьшения невязки, он более универсален, но менее нагляден. Разложим u (t ,x 1) в окрестности x 0 , тогда

Согласно (44), , а из уравнения теплопроводности найдем . Подставляя данные оценки в разложение Тейлора, находим

Делая в (50) замену , получим левое граничное условие (49).

Согласно приведенной выше процедуре можно добиться повышенной точности в аппроксимации граничных условий.

Аппроксимация

Пусть задана область G переменных x = (x 1 ,x 2 ,…,x p ) с границей G и поставлена корректная задача решения уравнения с граничными условиями:

Au (x ) - f (x ) = 0, x Î G ; (51)

Ru (x ) - m (x ) = 0, x Î G. (52)

Введем в области G + G сетку с шагом h , которая содержит регулярные (внутренние) узлы w h и нерегулярные (граничные) узлы g h .

Перейдем в (51), (52) к соответствующим разностным аналогам

A h y h (x ) - j h (x ) = 0, x Î w h ; (51¢)

R h y h (x ) - c h (x ) = 0, x Î g h . (52¢)

Близость разностной схемы (51¢), (52¢) к исходной задаче (51), (52) определяется величинами невязок:

Разностная схема (51¢), (52¢) аппроксимирует задачу (51), (52), когда

аппроксимация имеет p -й порядок, когда

Дадим некоторые комментарии к выбору норм. Для простоты будем рассматривать одномерный случай, т.е. G = [a ,b ].

Можно использовать чебышевскую или локальную норму

или гильбертову, среднеквадратическую:

Часто строят ассоциированные или связанные с оператором A энергетические нормы. Например,

Выбор нормы регулируется двумя противоположными соображениями. С одной стороны, желательно, чтобы разностное решение y было близко к точному решению в наиболее сильной© норме. Например, в задачах на разрушение конструкций малость деформаций в не гарантирует целостность конструкций, а малость в норме - гарантирует. С другой стороны, чем слабее норма , тем легче разностную схему построить и доказать ее сходимость.

Функции y h , j h , c h , входящие в (51¢), (52¢), определены на сетке, поэтому для них необходимо определить соответствующие сеточные нормы , и . Обычно их вводят так, чтобы они переходили в выбранные нормы , и при h ® 0. В качестве разностных аналогов чебышевской и гильбертовых норм выбирают выражения

или близкие аналоги.

Устойчивость

Под устойчивостью (неустойчивостью) разностной схемы понимается то, что малые ошибки, возникающие в процессе счета (или внесенные с входными данными), при последующих расчетах уменьшаются (возрастают).

Рассмотрим пример неустойчивой разностной схемы для задачи Коши дифференциального уравнения u ¢ = a u . Выберем следующее однопараметрическое семейство разностных схем:

. (53)

Исследуем рост ошибки dy n начальных данных уравнения (53). Поскольку уравнение (53) линейно, постольку ошибка dy n удовлетворяет тому же уравнению (53). Изучим специальный вид ошибки dy n = l n . Подставим это представление в (53), тогда

Решение квадратного уравнения (54) при h ® 0 дает следующие оценки корней

Из оценок корней в (55) следует, что при s < ½ второй корень |l 2 | > 1, т.е. за один шаг ошибка возрастает в несколько раз. Проверим это.

На листинге_№5 приведен код программы, иллюстрирующей расчет по неустойчивой при s = 0,25 схеме (53) и по устойчивой схеме при s = 0,75. В начальных данных выбирались малые возмущения. Далее проводились серии расчетов с уменьшающимся значением шага сетки h . На рис.11 приведены итоговые графики зависимости значения возмущения в начальных данных на правом конце отрезка интегрирования в зависимости от шага сетки. Отчетливо видно сколь разительно отличаются друг от друга расчеты по неустойчивой и устойчивой схемам. Используя данную программу можно убедиться в пороговом значении параметра s = 0,5: при s < 0,5 схема неустойчива, при s ³ 0,5 - устойчива.

Листинг_№5

%Программа расчета по неустойчивой схеме при

%sigma=0,25 и по устойчивой схеме при sigma=0,75

%очищаем рабочее пространство

%определяем константу уравнения u"=alpha*u

%определяем значения sigma=0,25; 0,75

sigm=0.25:0.5:0.75;

for s=1:length(sigm)

%определяем начальное значение шага сетки

x=0:h:1; N=length(x);

%определяем возмущения начальных данных

dy(1)=1e-6; dy(2)=1e-6;

%осуществляем расчет возмущения начальных

%данных на правом конце отрезка интегрирования

dy(n+1)=(2+(alpha*h-1)/sigma)*dy(n)+...

(1/sigma-1)*dy(n-1);

%запоминаем возмущение на правом конце и

%шаг сетки

deltay(i)=dy(N);

%рисуем график зависимости возмущения на

%правой границе от шага сетки

plot(step,deltay);

Рис.11. Графики зависимости возмущения при расчете по
схеме (53) на правой границе от шага сетки h

Разностная схема (51¢), (52¢) устойчива , если решение системы разностных уравнений непрерывно зависит от входных данных j , c и эта зависимость равномерна относительно шага сетки. Уточним непрерывную зависимость. Это означает, что для любого e > 0 найдется такое d (e ), не зависящее от h , что

, (56)

Если разностная схема (51¢), (52¢) линейна, то разностное решение линейно зависит от входных данных. В этом случае можно положить, что d (e ) = e /(M + M 1), где M , M 1 - некоторые неотрицательные величины, независящие от h . В итоге условие устойчивости для линейных разностных схем можно записать в виде:

Непрерывную зависимость разностного решения от j называют устойчивостью по правой части , а от c - устойчивостью по граничным данным .

В дальнейшем будем рассматривать двуслойные разностные схемы , т.е. такие схемы которые содержат один известный и один новый, неизвестный слой.

Двуслойная разностная схема называется равномерно устойчивой по начальным данным, если при выборе начальных данных с любого слоя t * (t 0 £ t * < T ) разностная схема устойчива по ним, причем устойчивость равномерна по t * . Для линейных схем условие равномерной устойчивости можно записать в виде

где константа K не зависит от t * и h , - решения разностной схемы A h y = j с начальными данными и с одной и той же правой частью.

Достаточный признак равномерной устойчивости. Для равномерной устойчивости по начальным данным достаточно, чтобы при всех m выполнялось

Доказательство. Условие (60) означает, что если на некотором слое возникла ошибка dy , то при переходе на следующий слой норма возмущения ||dy || возрастает не более чем в (1 + Сt ) £ e C t раз. Согласно (59), при переходе со слоя t * на слой t требуется m = (t - t *)/t шагов по времени, т.е. ошибка возрастает не более чем в . В итоге имеем

что, согласно определению в (59), означает равномерную устойчивость по начальным данным.

Теорема. Пусть двухслойная разностная схема A h y = j равномерно устойчива по начальным данным и такова, что если два разностных решения A h y k = j k равны на некотором слое, т.е. , то на следующем слое выполняется соотношение

где a = const. Тогда разностная схема устойчива по правой части.

Доказательство. Помимо решения y рассмотрим решение , соответствующее возмущенной правой части . В дальнейшем будем считать, что . Это можно предположить, т.к. исследуется устойчивость по правой части.

1. В системе координат xOt строим прямоугольную сетку с шагом h по оси Ох и с шагом τ по оси Ot :

a) x i =ih , i = l, n , n=L/h ;

б) t k =k τ, k= l, m , m =T/τ;

в) и i , k = u (x i , t k ) = u (ih , k τ).

2. Вычисляем значения функции u (x i , t k ) в узлах, лежащих на прямых х= 0 и x=L :

3. Вычисляем u i ,0 =f (ih ), i= 1, n .

4. Используя (1.16) или (1.23), найдем решение для всех внутренних узлов: u i , k + n , i= l, n -l , k= 0, m -l .

1.3. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом сеток

1.3.1. Постановка задачи. Алгоритм метода

Рассмотрим смешанную задачу (т. е. заданы начальные и граничные условия) для волнового уравнения

в области D ={0≤x≤L , 0≤t≤T } с начальными условиями

и граничными условиями

Будем предполагать, что f (x ), g (x ) – достаточно гладкие функции, причем выполнены условия согласования в двух углах области D (x =0, t =0), (x=L , t =0), обеспечивающие существованне и единственность решения u (x , t ).

Для дискретизации исходной задачи построим в области

прямоугольную сетку

где h – шаг сетки в направлении х , τ – шаг сетки в направлении t ,

Используя для аппроксимации частных производных центральные разности второго порядка (1.10), для каждого внутреннего узла сетки получим систему разностных уравнений

которые аппроксимируют волновое уравнение (1.24) в узле (х i , t k ) с погрешностью O (h 2 + τ 2).

Здесь u i , k – приближенное значение функции и (х , t ) в узле (x i , t k ).

Полагая λ = аτ/h , получим трехслойную разностнуюсхему:

Схема (1.28) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения u i , k функции и (х , t ) на трех временных слоях с номерами (k -l), k , (k +1).

Разностной схеме (1.28) соответствует пятиточечный трехслойный шаблон типа «крест» (рис. 1.2).

Схема (1.28) связывает значения u i , k =u (ih , kτ ) на трех слоях по времени, и чтобы перейти на уровень (k +1), необходимо знать как u i , k , так и u i , k -1 , что является следствием того, что дифференциальное уравнение (1.24) содержит вторую производную по времени. Численное решение задачи (1.24) – (1.26) состоит в вычислении приближенных значений u i , k решения u (х , t ) в узлах (х i , t ) при i = 1, n , k =1, m . Схема вычислений по (1.28) является явной, она позволяет вычислить приближенно значения функции в узлах (k +1)-го слоя по известным ее значениям на двух предыдущих слоях. На первых двух слоях значения функции определяются из начальных условий (1.25). Полагаем

Для производной по времени применяем аппроксимацию (1.5)

Порядок аппроксимации (1.30) равен О (τ).

Заметим, что (1.29), (1.31) дают решения для первыхдвухстрок: k =0, k =1. Подставляя k= 1 в (1.28), получим:

Все слагаемые в правой части уравнения (1.32) включают значения и i , k только из первых двух строк сетки; но ведь все эти значения известны из начальных условий.

После этого, зная решения и i ,1 , и i ,2 , можно по (1.28) вычислить значения функции и i , k на третьем временном слое, четвертом и т. д.

Описанная выше схема вычислений (1.28) – (1.31) aппpoксимирует задачу (1.24) – (1.26) с точностью О (τ+h 2). Невысокий порядок аппроксимации по τ объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по t в формуле (1. 30).

Рассмотрим теперь вопросы сходимости и устойчивости. Не приводя здесь доказательств, ограничимся формулировкой окончательных результатов. Схема вычислений будет устойчивой, если выполняется условие Куранта

Это означает, что при выполнении (1.33) малые погрешности, возникающие, например, при вычислении на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условия Куранта разностная схема (1.28) обладает равномерной сходимостью, т. е. при h →0 и τ→0 решение разностной задачи (1.28) – (1.31) равномерно стремится к решению исходной задачи (1.24) – (1.26).

Условие (1.33) является достаточным для сходимости, но не является необходимым. Другими словами, существуют уравнения и величины интервалов, для которых (1.33) не выполняется, но все же получается правильный результат. Все дело в том, что тогда нельзя гарантировать сходимость. В общем случае, конечно, желательно обеспечить сходимость наверняка, и поэтому требование соблюдения условия (1.33) обязательно.

Таким образом, как только выбрана величина шага h в направлении х , то появляется ограничение на величину шага τ по времени. Отличительная особенность всех явных методов заключается в том, что при их использовании должно соблюдаться некоторое условие типа (1.33), обеспечивающее сходимость и устойчивость метода.

конфигурация узлов, значения сеточной функции в которых определяют вид разностных уравнений во внутренних (не приграничных) точках сетки. Как правило, на рисунках с изображениями шаблонов точки, участвующие в вычислении производных, соединяются линиями.

Схема Куранта - Изаксона - Риса (КИР), которую иногда также связывают с именем С.К. Годунова, получается при , . Ее порядок аппроксимации . Схема КИР условно устойчива, т.е. при выполнении условия Куранта . Приведем разностные уравнения для схемы Куранта - Изаксона - Риса во внутренних точках расчетной области:

Эти схемы, имеющие также название схемы с разностями против потока (в англоязычной литературе - upwind) могут быть записаны в виде

Их преимущество состоит в более точном учете области зависимости решения. Если ввести обозначения

то обе схемы можно записать в следующих формах:

(потоковая форма разностного уравнения);

(здесь явно выделен член со второй разностью, придающий устойчивость схеме);

(уравнение в конечных приращениях).

Рассмотрим также метод неопределенных коэффициентов для построения разностной схемы правый уголок первого порядка точности для уравнения переноса

Схему можно представить в виде

Схема Куранта - Изаксона - Риса тесно связана с численными методами характеристик . Дадим краткое описание идеи таких методов.

Две последние полученные схемы (при разных знаках скорости переноса) можно интерпретировать следующим образом. Построим характеристику , проходящую через узел (t n + 1 , x m ), значение в котором необходимо определить, и пересекающую слой t n в точке . Для определенности считаем, что скорость переноса c положительна.

Проведя линейную интерполяцию между узлами x m - 1 и x m на нижнем слое по времени, получим

Далее перенесем вдоль характеристики значение u n (x") без изменения на верхний слой t n + 1 , т.е. положим . Последнее значение естественно считать приближенным решением однородного уравнения переноса. В таком случае

или, переходя от числа Куранта снова к сеточным параметрам,

т.е. другим способом пришли к уже известной схеме "левый уголок", устойчивой при . При точка пересечения характеристики , выходящей из узла (t n + 1 , x m , с n - м слоем по времени расположена левее узла (t n , x m - 1 ). Таким образом, для отыскания решения используется уже не интерполяция , а экстраполяция, которая оказывается неустойчивой.

Неустойчивость схемы "правый уголок" при c > 0 также очевидна. Для доказательства этого можно использовать либо спектральный признак, либо условие Куранта, Фридрихса и Леви. Аналогичные рассуждения можно провести и для случая c < 0 и схемы "правый уголок".

Неустойчивая четырехточечная схема получается при , ее порядок аппроксимации . Сеточные уравнения для разностной схемы будут иметь следующий вид:

Схема Лакса - Вендроффа возникает при . Порядок аппроксимации схемы Лакса - Вендроффа есть . Схема устойчива при выполнении условия Куранта .

Эту схему можно получить либо методом неопределенных коэффициентов, либо путем более точного учета главного члена погрешности аппроксимации. Рассмотрим процесс вывода схемы Лакса - Вендроффа подробнее. Проводя исследование предыдущей четырехточечной схемы на аппроксимацию (а исследование это довольно элементарно и сводится к разложению функции проекции на сетку точного решения дифференциальной задачи в ряд Тейлора), получим для главного члена погрешности

При выводе выражения для главного члена погрешности аппроксимации использовано следствие исходного дифференциального уравнения переноса

Которое получается путем дифференцирования исходного уравнения (3.3) сначала по времени t , затем по координате x и вычитанием одно из другого получившихся соотношений.

Далее, заменяя вторую производную во втором слагаемом в правой части с точностью до O(h 2) , получим новую разностную схему, аппроксимирующую исходное дифференциальное уравнение с точностью . Сеточные уравнения для схемы Лакса - Вендроффа во внутренних узлах расчетных сеток есть

Неявная шеститочечная схема возникает при q = 0 ; при ее порядок аппроксимации , при .

Часть вторая книги посвящена построению и исследованию разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом мы введем основные в теории разностных схем понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, которые носят общий характер. Знакомство с этими понятиями, полученное в связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями, позволит в дальнейшем, при изучении разностных схем для уравнений с частными производными, сосредоточиться на многочисленных особенностях и трудностях, характерных для этого очень многообразного класса задач.

ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

В этой главе мы рассмотрим вводные примеры разностных схем, предназначенные только для предварительного знакомства с основными понятиями теории.

§ 8. Понятие о порядке точности и об аппроксимации

1. Порядок точности разностной схемы.

Этот параграф посвящен вопросу сходимости решений разностных уравнений при измельчении сетки к решениям дифференциальных уравнений, которые они приближают. Мы ограничимся здесь исследованием двух разностных схем численного решения задачи

Начнем с простейшей разностной схемы, основанной на использовании разностного уравнения

Разобьем отрезок на шаги длины h. Удобно выбрать где N - целое число. Точки деления занумеруем слева направо, так что . Значение и, полученное по разностной схеме в точке будем обозначать Зададим начальное значение. Положим . Из разностного уравнения (2) вытекает соотношение

откуда находим решение уравнения (2) при начальном условии :

Точное же решение задачи (1) имеет вид . Оно принимает в точке значение

Найдем теперь оценку величины погрешности приближенного решения (3). Эта погрешность в точке будет

Нас интересует, как убывает при увеличении числа точек разбиения, или, что то же самое, при уменьшении шага разностной сетки. Для того чтобы выяснить это, представим в виде

Таким образом, равенство (3) примет вид

т. е. погрешность (5) стремится к нулю при и величина погрешности имеет порядок первой степени шага.

На этом основании говорят, что разностная схема имеет первый порядок точности (не путать с порядком разностного уравнения, определенным в § 1).

Решим теперь задачу (1) с помощью разностного уравнения

Это не так просто, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что рассматриваемая схема является разностным уравнением второго порядка, т. е. требует задания двух начальных условий тогда как интегрируемое уравнение (1) есть уравнение первого порядка и для него мы задаем только . Естественно и в разностной схеме положить .

Не ясно, как задавать их. Чтобы разобраться в этом, воспользуемся явной формой решения уравнения (7) (см. § 3 формулы ):

Разложения (9) по формуле Тейлора корней характеристического уравнения позволяют дать приближенные представления для Проведем подробно вывод такого представления -

Так как , то

Не будем проводить совершенно аналогичной выкладки для , а выпишем сразу результат:

Подставив приближенные выражения для в формулу (8), получим

Все дальнейшие выводы мы будем получать путем исследования этой формулы.

Заметим, что если коэффициент стремится при к конечному пределу b, то первое слагаемое правой части равенства (12) стремится к искомому решению задачи (1).